Cálculo: Máximo y Mínimo
La determinación de los valores máximos y mínimos de una función, es uno de los logros de la gran potencia que tiene el Cálculo. Tomemos f(x) como una función de x. El valor de x para el cual la derivada de f(x) con respecto a x es igual a cero, corresponden a los puntos de inflexión de la función f(x) donde sus valores son máximo y mínimo.
Por ejemplo, la altura de un proyectil que se dispara en línea recta, está dada por las ecuaciones del movimiento:
Abajo se muestra la gráfica de la altura y(t), tomando y0 = 0.
La derivada de una función puede ser interpretada geométricamente como lapendiente de la curva de la función matemática y(t), representada la derivada en función de t. La derivada es positiva cuando una función es creciente hacia un máximo, cero (horizontal) en el máximo, y negativa justo después del máximo. La segunda derivada es la tasa de cambio de la primera derivada y es negativa en el proceso que se acaba de describir, puesto que la primera derivada (la pendiente), siempre es cada vez mas pequeña. La segunda derivada es siempre negativa en la "joroba" de una función, que corresponde a un máximo de la función.
En la función simple que se ha mostrado en el ejemplo solo hay un máximo. Las funciones mas complejas pueden tener múltiples máximos y mínimos y la segunda derivada, nos proporciona la manera de distinguirlos.
Ejemplos:
1)
Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u, sin
embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez que
alquila un departamento menos. ¿cuantos departamentos debe alquilar para un
máximo ingreso?
Reordenando
los datos:
Nº
Total dep. : 40
Nº
dep. Alquilados : x
Nº
dep. no alquilados: u
Alquiler
de 1 dep. originalmente : $100
Incremento
por 1 dep. no alquilado : $5
Ingreso
por u dep. no alquilados: $5u
Ingreso
por alquiler de 1 dep. : 100 + 5u
Ingreso
por alquiler de x dep. : x(100+5u)
Reemplazando
la ecuación de ingreso es:
R = x((100+5(40-x))
= -5x^2 + 300x
R’ = -10x + 300 = 0 de donde igualando a 0 y resolviendo la ecuación no s queda que x = 30
la segunda derivada seria -10 por lo que tendremos un maximo.
Rmax. = -5*30^2
+ 300*30 = $4500
Nótese
que no se alquilan 10 dep. ( u = 10)
El
alquiler de 1 dep. es :
100
+ 5u = 100 + 5*10 = $150
2.
Una entidad bancaria cobra una tarifa de $20; por cada $1000 de transacción
comercial que efectúa, ofreciendo una rebaja de $0.1 por cada $1000 encima del
monto de $100000. Hallar su máximo Ingreso si:
a)
La rebaja afecta al monto total de la transacción.
b)
La rebaja afecta únicamente al monto por encima de $100000
Reordenando
datos:
Nº
de miles de $ de transacción total : x
Nº
de miles de $ encima de $100 mil :u
por lo que x = u + 100
Tarifa
original por mil $ : $20
Rebaja
por mil $ encima de 100mil : $0,1
Rebaja
por u miles, encima de 100mil : $0,1u
Tarifa
con rebaja: 20 – 0,1u
a)
Si la rebaja afecta al monto total de la transacción (x en miles de $); el
ingreso es:
R = x(20-0,1u) R’ = - o,2x+30
= 0 è x = 150
= x ( 20 –
0,1(x-100) è Rmax. = 0.1*150^2 + 30*150 = 2250 mil
= 0,1x^2 + 30x =2250000$
b)
Si la rebaja afecta únicamente a 1 monto por encima de 100miles de $ ( u en
miles de $) ; el ingreso provendrá del monto con tarifa fija, mas el monto con
rebaja:
R
= 100*20 + u(20-0,1u) R’ =
-0,2x + 40 = 0 =0> x=200
= 2000 + ( x-100) (20-0,1(x-100) è Rmax = -0,1 -0,2x +40 0 0 è x=200
= -0,1x^2 + 40 x – 1000 = 3000 miles de $ =
3000000$
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